题目内容

如果P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离|PQ|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数 $数学公式$ 和 $数学公式$ 之间的距离是________．

$\text{[math]}$
分析：根据函数的表达式，发现发现y=f（x）图象是抛物线y²=x的上半支，函数y=g（x）图象是以A（2，0）为圆心半径等于1的圆的上半圆．只要找到点A与抛物线上一点的最近距离，再用这个距离减去圆的半径1，即为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．再用两点的距离公式求出这个最短距离，即可得到答案．
解答：

解：作出函数y=f（x）图象与函数y=g（x）图象，如右图
发现y=f（x）图象是抛物线y²=x的上半支
函数y=g（x）图象是以A（2，0）为圆心半径等于1的圆的上半圆
因此，只要找到点A与抛物线上一点的最近距离，
再用这个距离减去圆的半径1，即为函数y=f（x）
与y=g（x）之间的距离．
设动点B（t²，t）是y=f（x）图象上一点，则
AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当t= $\text{[math]}$ 时，AB的最小值为： $\text{[math]}$
∴函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了函数的值域，属于中档题．利用函数图象的几何意义，借助于圆与圆锥曲线来解，是解决本题的关键．

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