Question

20．已知圆C：x²+（y-1）²=9内有一点P（$\sqrt{3}$，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$时，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）利用倾斜角求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦长AB．

解答 解：（1）圆C：x²+（y-1）²=9的圆心为C（0，1），直线过点P、C，
所以直线l的斜率为k=$\frac{2-1}{\sqrt{3}-0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，即$\sqrt{3}$x-3y-3=0；
（2）当直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$时，斜率为k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
直线l的方程为y-2=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}$x-y-1=0；
又圆心C（0，1）到直线l的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}×0-1×1-1|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=1，圆的半径为r=3，
所以弦AB的长为|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2×$\sqrt{{3}^{2}{-1}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系与应用问题，也考查了直线的斜率与点到直线的距离的计算问题，是基础题目．