Question

如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF₁F₂的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）求该椭圆的标准方程．
（2）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a²=b²+c²，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；
（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k²）x²=400
如图，设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；
解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y₁=kx₁，y₂=kx₂，表示出四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂，最后利用基本不等式求其最大值即可．
解答：解：（1）设椭圆的方程为，焦距为2c，
依题意有，解得
∴椭圆的方程为，（5分）
（2）解法一：由消去y，得（16+25k²）x²=400
如图，设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，∴．①（8分）
∵直线AB的方程分别为即4x+5y-20=0，
∴点E，F到AB的距离分别为，（10分）
又，
所以四边形AEBF的面积为
===
=，
当且仅当16=25k²即时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）
解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．
设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且
故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂（10分）===，
当且仅当4x₂=5y₂时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式的应用．