Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）若$λ=\frac{3}{4}$，求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若△PF₁F₂为等腰三角形，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A$（-\frac{{a}^{2}}{c}，0）$，B（0，a）两点，根据$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，可得M$（-\frac{{a}^{2}}{4c}，\frac{3a}{4}）$，代入椭圆方程即可得出．
（II）若△PF₁F₂为等腰三角形，P是点F₁关于直线l的对称点，可得：|AF₁|=|BF₁|，即$-c-（-\frac{{a}^{2}}{c}）$=$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$，可得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，可得M$（\frac{（λ-1）{a}^{2}}{c}，λa）$，代入椭圆方程解出即可得出．

解答 解：（I）直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A$（-\frac{a}{e}，0）$即$（-\frac{{a}^{2}}{c}，0）$，B（0，a）两点，
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，∴M$（-\frac{{a}^{2}}{4c}，\frac{3a}{4}）$，
代入椭圆方程可得：$\frac{{a}^{2}}{16{c}^{2}}$+$\frac{9{a}^{2}}{16{b}^{2}}$=1，b²=a²-c²，化为：（4e²-1）²=0，解得e=$\frac{1}{2}$．
（II）若△PF₁F₂为等腰三角形，P是点F₁关于直线l的对称点，
∴|PA|=|AF₁|，|PB|=|BF₁|，|PA|=|PB|，
∴|AF₁|=|BF₁|，
∴$-c-（-\frac{{a}^{2}}{c}）$=$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$，
化为：a²=3c²，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{1}{3}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，解得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，
∴M$（\frac{（λ-1）{a}^{2}}{c}，λa）$，
代入椭圆方程可得：$\frac{{a}^{2}（λ-1）^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴3（λ-1）²+$\frac{3{λ}^{2}}{2}$=1，
化为：（3λ-2）²=0，
解得$λ=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交问题、垂直平分线的性质、向量的坐标运算性质、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．