Question

16．若数列{a_n}的前n项之积等于n²+3n+2，（n∈N⁺），则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．

Answer 1

分析 由题意可得：a₁a₂•…•a_n=n²+3n+2，（n∈N⁺），n=1时，a₁=6．n≥2时，a₁a₂•…•a_n-1=（n-1）²+3（n-1）+2，相除即可得出．

解答 解：由题意可得：a₁a₂•…•a_n=n²+3n+2，（n∈N⁺），
∴a₁=6．
n≥2时，a₁a₂•…•a_n-1=（n-1）²+3（n-1）+2=n²+n，（n∈N⁺），
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+3n+2}{{n}^{2}+n}$=$\frac{n+2}{n}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．
故答案为：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．

点评 本题考查了数列的递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．