Question

12．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2或$\sqrt{3}$
• B． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的方程，求得渐近线方程，运用斜率，和离心率公式计算即可得到．

解答 解：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x，由题意可得b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2；
若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
渐近线的方程为y=±$\frac{a}{b}$x，由题意可得a=$\sqrt{3}$b，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上可得e=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意讨论双曲线的焦点位置，运用渐近线方程，考查运算能力，属于中档题．