Question

13．已知向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夹角为60^°，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，
（1）求$|{\overrightarrow{2a}-\overrightarrow b}|$；
（2）若向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$和向量$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$垂直，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合数量积公式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，然后求出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$得答案；
（2）由已知可得（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$）=0，展开后整理即可求得k值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夹角为60^°，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°=1×2×\frac{1}{2}=1$，
则$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=4-4×1+4=4$，
∴$|{\overrightarrow{2a}-\overrightarrow b}|$=2；
（2）∵向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$和向量$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$垂直，
∴（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（k+1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+k|\overrightarrow{b}{|}^{2}=1+（k+1）+4k=0$，
解得：k=$-\frac{2}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直与数量积间的关系，是中档题．