Question

17．已知f（x）=-$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，则f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式变形，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围和正弦函数的图象与性质，求出f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值．

解答 解：由题意得，f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$，
=$sin（2x+\frac{5π}{6}）-\frac{1}{2}$，
由$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}]$得，$2x+\frac{5π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}]$，
则$sin（2x+\frac{5π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
所以$sin（2x+\frac{5π}{6}）-\frac{1}{2}∈[-1，\frac{1}{2}]$，
则f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式，考查化简、变形能力．