Question

若cost+cosx=

1

2

，则函数y=cost-sin²x的值域是

[-

3

4

，

1

4

]

．

Answer 1

分析：由cost+cosx=

1

2

得cost=

1

2

-cosx，代入y=cost-sin²x，配方后解决即可．

解答：解：∵cost+cosx=

1

2

，
∴cost=

1

2

-cosx①，
∴y=cost-sin²x
=

1

2

-cosx-（1-cos²x）
=cos²x-cosx-

1

2

=(cosx-

1

2

)2-

3

4

，
∵-1≤cost≤1，cost=

1

2

-cosx，
∴-1≤cosx-

1

2

≤1
∴-

1

2

≤cosx≤

3

2

，又-1≤cosx≤1，
∴-

1

2

≤cosx≤1．
∴当cosx=-

1

2

，y_max=

1

4

，
当cosx=

1

2

，y_min=-

3

4

．
故答案为：[-

3

4

，

1

4

]．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，易错点在于忽视cosx范围的讨论，属于中档题．