Question

19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，∠CBA=60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到ABC′D′（如图）．
（I）求证：AC⊥BC′；
（II）求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）推导出四边形ANCD是平行四边形，四边形ANCD是菱形，AC⊥AB，从而AC⊥平面ABC，由此能证明AC⊥BC′．
（II）建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=1，利用率向量法能求出二面角A-C′N-C的余弦值．

解答 证明：（I）∵AD=$\frac{1}{2}$BC，N是BC的中点，∴AD=NC．
又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN=DC．
又ABCD为等腰梯形，∠CBA=60°，∴AB=BN=AD，∴四边形ANCD是菱形，
∴$∠ACB=\frac{1}{2}∠DCB=30°$，∴∠BAC=90°，即AC⊥AB．
∵平面ABC⊥平面ABC，平面ABC′∩平面ABC=AB，∴AC⊥平面ABC．
又BC′?平面ABC′，∴AC⊥BC′．…（6分）
解：（II）∵AC⊥平面ABC′，同理AC′⊥平面ABC．
如图，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=1，
则B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），C′（0，0，$\sqrt{3}$），N（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），
则$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{C}^{'}}$=（0，-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$）．
设平面C′NC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}^{'}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$）．
$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
设平面ANC′的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}^{'}}=\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}，1，0$），
设二面角A-C′N-C的平面角为θ，∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-C′N-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．