Question

数列{a_n}为等差数列，公差不为0，{b_n}为等比数列，且a₁=2，b₁=1，a₂=b₂，2a₄=b₃若存在常数x，y使a_n=log_xb_n+y对任意的正整数n都成立，则x^y=

4

．

Answer 1

分析：首先利用等差数列和等比数列的性质以及已知条件求出q=2+d，进而根据2a₄=b₃，求出d、和q的值，即可求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，再根据a_n=log_xb_n+y得出2n=log_x4^n-1+y=（n-1）log_x4+y，令n=1求出y，令n=2求出x，即可求出结果．

解答：解：a₂=a₁+d=2+d，b₂=1×q=q，
∵a₂=b₂，
∴q=2+d，a₄=a₁+3d=2+3d，b₃=1×q²=q²，
∵2a₄=b₃，
∴2×（2+3d）=q²=（2+d）² 即 d²-2d=0，
∵公差不为0，
∴d=2，∴q=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n，
b_n=a₁q^n-1=4^n-1，
∵a_n=log_xb_n+y，
∴2n=log_x4^n-1+y=（n-1）log_x4+y ①，
∵①式对每一个正整数n都成立，
∴n=1时，得y=2，n=2时，得log_x4+2=4，得x=2
∴x^y=2²=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题．