Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y=$\sqrt{3}$x-1平行，且它的一个焦点在抛物线y²=8$\sqrt{2}$x的准线上，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，得到c的值，结合双曲线渐近线与直线的平行关系求出a，b的大小即可．

解答 解：抛物线y²=8$\sqrt{2}$x的准线方程为x=2$\sqrt{2}$，
∵双曲线的一个焦点在抛物线y²=8$\sqrt{2}$x的准线上，
∴c=2$\sqrt{2}$，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y=$\sqrt{3}$x-1平行，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，平方得b²=3a²=c²-a²，
即c²=4a²=8，
则a²=2，b²=6，
即双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，

点评 本题主要考查双曲线标准方程的求解，根据条件求出a，b，c是解决本题的关键．