题目内容
已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=
，向量
=（-1，1），
=（cosBcosC，sinBsinC-
），且
⊥
．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当sinB+cos（
-C）取得最大值时，求B和b．
| 2 |
| m |
| n |
| ||
| 2 |
| m |
| n |
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当sinB+cos（
| 7π |
| 12 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）由
⊥
，可得
•
=0，化为-cos（B+C）=sinA=
，又A∈（0，π），可得A=
或
．
（2）sinB+cos(
-C)=sinB+cos(B-
)=
sin(B+
)，当A=
时，可得B=
时，sinB+cos(
-C)最大，再利用正弦定理
=
，可得b．当A=
时，B∈(0，
)，sinB+cos(
-C)无最大值，舍去．
| m |
| n |
| m |
| n |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（2）sinB+cos(
| 7π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 12 |
解答：
解：（1）∵
⊥
，
∴
•
=-cosBcosC+sinBsinC-
=0，
∴-cos（B+C）=sinA=
，
又A∈（0，π），则A=
或
．
（2）sinB+cos(
-C)=sinB+cos(B-
)=
sin(B+
)，
当A=
时，B∈(0，
)，则B=
时，sinB+cos(
-C)最大，
由正弦定理
=
，得b=
．
∴B=
，b=
．
当A=
时，B∈(0，
)，sinB+cos(
-C)无最大值，舍去．
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
| ||
| 2 |
∴-cos（B+C）=sinA=
| ||
| 2 |
又A∈（0，π），则A=
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（2）sinB+cos(
| 7π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
当A=
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
由正弦定理
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
| 3 |
∴B=
| π |
| 3 |
| 3 |
当A=
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 12 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、两角和差的余弦公式、诱导公式、正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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