Question

18．已知α、β是方程x²+x+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围
（2）试用a表示|α|+|β|．

Answer 1

分析 （1）根据有两个实数根，所以判别式大于0，即可求a的取值范围；
（2）由韦达定理α+β=-1，αβ=a，分类讨论，即可用a表示|α|+|β|．

解答 解：（1）因为有两个实数根，所以判别式大于等于0，也就是1-4a≥0，所以a≤$\frac{1}{4}$．
（2）由韦达定理α+β=-1，αβ=a．
分类讨论：①a＞0的情况，此时αβ同号，因此|α|+|β|=|α+β|=1；
②a=0的情况，此时α、β其一为0，另一为-1，所以|α|+|β|还是1；
③a＜0的情况，此时α、β异号，|α|+|β|=|α-β|平方一下，
得到|α-β|²=α²-2αβ+β²=α²+2αβ+β²-4αβ=（α+β）²-4αβ=（-1）²-4a=1-4a，
所以|α|+|β|=|α-β|=$\sqrt{1-4a}$，
综上，若$\frac{1}{4}$≥a≥0，则|α|+|β|=1；若a＜0，则|α|+|β|=$\sqrt{1-4a}$．

点评 本题考查方程根的讨论，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．