Question

如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M,N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成角的余弦值.

Answer 1

解：连结MC,取MC的中点O,连结NO,

    则NO为△SMC的中位线,∴NOSM.

    连结BO,

∴∠BNO为异面直线SM与BN所成的角.

    设正三角形ABC的边长为4a,从而NO=SM=a,BN=,

BO=,

∴在△BON中,

cosBNO=.

∴异面直线SM与BN所成角的余弦值为.

点评:(1)“平移线段法”是寻找异面直线所成角的最基本的作法.处理好平移两条直线中的一条或同时平移两条至恰当位置,是解好这类问题的关键.用三角形的中位线来完成平移工作是最常用的手段.

(2)求角的一般步骤:①找(作)角适合题意;②求角(解三角形).