Question

17．函数f（x）=x²-ax+2，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围（-∞，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 要使函数f（x）=x²-ax+2对任意x∈[1，+∞），都有f（x）＞0恒成立，分判别式小于0和大于等于0两种情况，借助于二次函数的对称轴及f（1）的符号列式求解．

解答 解：函数f（x）=x²-ax+2，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
当△=a²-8＜0，解得a∈（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{1-a+2＞0}\end{array}\right.$，
解得，a≤2．
综上，对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围是：（-∞，2$\sqrt{2}$）．
故答案为：（-∞，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题，是中档题．