Question

14．已知函数f（x）=|2x-1|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）=|x-1+a|，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，画出图象，求得与y=4的交点，通过图象即可得到所求解集；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质可得|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|，而|x-1+a|?（2x-1）（x-a）≤0，对a讨论，分当a＜$\frac{1}{2}$时，当a=$\frac{1}{2}$时，当a＞$\frac{1}{2}$时，由二次不等式的解法即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=|2x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-4，x≥3}\\{x+2，\frac{1}{2}＜x＜3}\\{4-3x，x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$…（2分）
其图象如图所示，与直线y=4相交于点A（0，4）和B（2，4），…（4分）
∴不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤2}，…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|，
∴f（x）=|x-1+a|?（2x-1）（x-a）≤0，…（7分）
①当a＜$\frac{1}{2}$时，x的取值范围是{x|a$≤x≤\frac{1}{2}$}；
②当a=$\frac{1}{2}$时，x的取值范围是{$\frac{1}{2}$}；
③当a＞$\frac{1}{2}$时，x的取值范围是{x|$\frac{1}{2}$≤x≤a}．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法和性质，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．