Question

5．已知数列{a_n}中，a_n＞0且前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），则S_n=$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式求出数列的前几项，猜测出数列的通项公式，利用数学归纳法证明，然后在代入已知数列递推式得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），得${a}_{1}=\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a₁=1（a_n＞0），
${S}_{2}={a}_{1}+{a}_{2}=1+{a}_{2}=\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{1}{{a}_{2}}）$，解得${a}_{2}=\sqrt{2}-1$（a_n＞0），
同理求得${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，
猜想${a}_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
以下用数学归纳法证明．
当n=1时，由上可知成立，
假设n=k时成立，即${a}_{k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，
则n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1，
即$\frac{1}{2}（{a}_{k+1}+\frac{1}{{a}_{k+1}}）=\frac{1}{2}（{a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}）+{a}_{k+1}$，
整理得：${a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}+{a}_{k+1}-\frac{1}{{a}_{k+1}}=0$，
而${a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$=$2\sqrt{k}$，
∴${a}_{k+1}-\frac{1}{{a}_{k+1}}+2\sqrt{k}=0$，
解得：${a}_{k+1}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$．
综上，可得数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
∴${S}_{n}=\frac{1}{2}（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}）=\sqrt{n}$．
故答案为：$\sqrt{n}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明数列的通项公式，是中档题．