Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁（-c，0），右焦点F₂（c，0），若椭圆上存在一点P，使|PF₁|=2c，∠F₁PF₂=30°，则该椭圆的离心率e为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆的定义，可得|PF₂|=2a-2c，在△F₁PF₂中，由余弦定理可得c=$\sqrt{3}$（a-c），再由离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由椭圆的定义可得，2a=|PF₁|+|PF₂|，
由|PF₁|=2c，可得|PF₂|=2a-2c，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得，
cos∠F₁PF₂=cos30°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{4{c}^{2}+（2a-2c）^{2}-4{c}^{2}}{2•2c•（2a-2c）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简可得，c=$\sqrt{3}$（a-c），
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用解三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．