Question

16．将圆x²+y²=4每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到曲线C．
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线l：x+2y-2=0与C的交点为P₁、P₂，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）写出圆x²+y²=4的参数方程，即可求出C的参数方程．
（2）解方程组求得P₁、P₂的坐标，可得线段P₁P₂的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为2，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．

解答 解：（1）设（x₁，y₁）为圆上的点，在已知变换下变为C上点（x，y），…（2分）
依题意得：圆x²+y²=4的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$（t为参数）…（3分）
∴C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数）…（5分）
（2）C的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
与直线l：x+2y-2=0联立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$…（6分）
所以P₁（2，0），P₂（0，1），则线段P₁P₂的中点坐标为（1，$\frac{1}{2}$），所求直线的斜率k=2，
于是所求直线方程为y-$\frac{1}{2}$=2（x-1），并整理得4x-2y=3…（8分）
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρ=$\frac{3}{4cosα-2sinα}$．…（10分）

点评 本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．