题目内容
14．命题“?x∈（0，+∞），x2-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为a≤2．分析 若命题“?x∈（0，+∞），x2-3ax+9＜0”为假命题，则命题“?x∈（0，+∞），x2-3ax+9≥0”为真命题，即命题“?x∈（0，+∞），a≤$\frac{{x}^{2}+9}{3x}$=$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$”为真命题，结合基本不等式可得答案．
解答 解：若命题“?x∈（0，+∞），x2-3ax+9＜0”为假命题，
则命题“?x∈（0，+∞），x2-3ax+9≥0”为真命题，
即命题“?x∈（0，+∞），a≤$\frac{{x}^{2}+9}{3x}$=$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$”为真命题，
∵x∈（0，+∞）时，$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$≥$2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{3}{x}}$=2，
故a≤2，
故答案为：a≤2．
点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是特称命题，函数恒成立问题，难度中档．
练习册系列答案
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