Question

9．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x₁，x₂满足|f（x₁）-g（x₂）|=4，且|x₁-x₂|_min=2，则φ=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 1或3

Answer 1

分析 结合正弦函数的图象和性质可得|x₁-x₂|_min=2，得φ的值

解答 解：将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）=2sin（πx+φπ）的图象，
故f（x）的最大值为2，最小值为-2，g（x）的最大值为2，最小值为-2．
若实数x₁，x₂满足|f（x₁）-g（x₂）|=4，且|x₁-x₂|=2，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x₁-x₂|_min=2．
不妨假设f（x₁）=2，g（x₂）=-2，则 πx₁=2kπ+$\frac{π}{2}$，πx₂+πφ=2nπ-$\frac{π}{2}$，k、n∈Z，
即x₁=2k+$\frac{1}{2}$，x₂=2n-$\frac{1}{2}$-φ，此时，有|x₁-x₂|_min=2=|2k-2n+1+φ|=1+φ，或|x₁-x₂|_min=2=|2k-2n+1+φ|=-2+1+φ，
∴φ=1 或φ=3，
故选：D．

点评 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，有一定难度，属于中档题．