Question

1．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F₁，F₂，P是它们的一个交点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，记椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则当$\frac{1}{{{e_1}{e_2}}}$取最大值时，e₁，e₂的值分别是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\sqrt{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\sqrt{3}$

Answer 1

分析 不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，c=$\sqrt{{a}_{1}^{2}+{b}_{1}^{2}}$．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．m＞n．利用定义可得：m+n=2a，m-n=2a₁，解得m，n．利用余弦定理可得：$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，化简整理可得：$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}+\frac{3}{{e}_{2}^{2}}$=4，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，c=$\sqrt{{a}_{1}^{2}+{b}_{1}^{2}}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．m＞n．
则m+n=2a，m-n=2a₁，
∴m=a+a₁，n=a-a₁．
$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，
化为：$（a+{a}_{1}）^{2}$+$（a-{a}_{1}）^{2}$-4c²=（a+a₁）（a-a₁）．
∴${a}^{2}+3{a}_{1}^{2}$-4c²=0，
∴$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}+\frac{3}{{e}_{2}^{2}}$=4，
∴4≥$2\sqrt{\frac{1}{{e}_{1}^{2}}×\frac{3}{{e}_{2}^{2}}}$，化为：$\frac{1}{{{e_1}{e_2}}}$≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$，当且仅当e₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，e₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．