Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点（a_n，S_n）都在直线2x-y-1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=2bn，设cn=

bn

an

，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知点（a_n，S_n）都在直线2x-y-1=0上可得2a_n-s_n-1=0，利用递推公式an=

s1          n=1 sn-sn-1   n≥2

可求a_n
（2）由（1）可求b_n=2n-2，则数列b_n为等差数列，而数列a_n为等比数列，则cn=

bn

an

=(2n-2)•(

1

2

)n-1，适合用错位相减求数列{c_n}的和．

解答：解：（1）由已知2a_n-s_n-1=0①
当n≥2时，2a_n-1-s_n-1-1=0②（2分）
①-②得2a_n-2a_n-1-a_n=0
整理得

an

an-1

=2
又n=1时2a₁-s₁-1=0，得a₁=1
∴{a_n}是首次a₁=1，公比q=2的等比数列（5分）
故a_n=2^n-1
（2）由a_n²=2^b_n
（2^n-1）²=2^b_n
2^n-2=2^b_n
得b_n=2n-2（6分）
则c_n=

bn

an

=

2n-2

2n-1

=（2n-2）•(

1

2

)n-1（7分）
T_n=c₁+c₂…+c_n-1+c_n
=0•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+(2n-4)•(

1

2

)n-2+(2n-2)•(

1

2

)n-1①

1

2

T_n=0•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+(2n-4)•(

1

2

)n-1+(2n-2)•(

1

2

)n②（10分）
①-②，得

1

2

T_n=2•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+2•(

1

2

)n-1+(2n-2)•(

1

2

)n
=2•

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-2)•(

1

2

)n（12分）
解得T_n=4-（2n+2）•(

1

2

)n-1．（13分）

点评：本题考查数列的递推公式的运用、错位相减求和的运用，该求和方法已知求和的热点、难点，运用的关键是理解该方法的实质，掌握该求和的基本步骤．