Question

一个身高1.8m的人，以1.2m/s的速度离开路灯，路灯高4.2m．
（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系；
（2）解释身影长的变化率与人步行速度的关系；
（3）求x=3m时，身影长的变化率．

Answer 1

考点：导数的运算,变化的快慢与变化率

专题：导数的概念及应用

分析：（1）利用平行线分线段成比例定理，列出等式求出y；
（2）设离开路灯的时间为t，人步行速度为v，则x=vt，得到y=3vt，然后对x求导数，即可判断身影长的变化率与人步行速度的关系；
（3）根据变化率的定义即可求出．

解答： 解：（1）设人距路灯的距离BO′=x，路灯高OO′=4.2m，BC=1.8，这时影长为AB=y，
如图由平几的知识可得，
∴

BC

OO′

=

AB

AO′

，
∴

1.8

4.2

=

y

y+x

，
即y=

3

4

x；
（2）设离开路灯的时间为t，人步行速度为v，则x=vt，
∴y=

3

4

vt，
由导数的意义知人影长度的变化速度v=y′（t）=

3

4

v（m/s），
∴身影长的变化率与人步行速度成正比；
（3）当x=3m时，y=

9

4

m，
∴

△y

△x

=

9 4 -0

3-0

=

3

4

∴x=3m时，身影长的变化率

3

4

．

点评：本题考查导数的物理意义，考查函数模型的构建，属于中档题