Question

7．平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{12}=1$，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2cosθ-4sinθ．
（Ⅰ）写出C₁的参数方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设C₂与x轴的一个交点是P（m，0）（m＞0），经过P斜率为1的直线l交C₁于A，B两点，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的普通方程能求出曲线C₁的参数方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出P（2，0），写出l的方程是x-y-2=0，$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$代入x-y-2=0得$cos（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$．可得α=2kπ（k∈Z）或$α=2kπ-\frac{2π}{3}（k∈{Z}）$，于是A（2，0），B（-1，-3），即可求解．

解答 解：（Ⅰ）C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
因为ρ=2cosθ-4sinθ，所以ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
C₂的直角直角坐标方程是x²+y²-2x+4y=0．…（5分）
（Ⅱ）y=0代入x²+y²-2x+4y=0得x=0或x=2，所以P（2，0），l的方程是x-y-2=0
.$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$代入x-y-2=0得$cos（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$．
所以α=2kπ（k∈Z）或$α=2kπ-\frac{2π}{3}（k∈{Z}）$，
于是A（2，0），B（-1，-3），故$|AB|=3\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查了极坐标、参数方程，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．