Question

7．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；
（2）已知不等式f（log_m$\frac{3}{4}$）+f（-1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质得f（0）=0恒成立，求出a的值，再判断函数的单调性即可．
（2）根据奇函数的性质将不等式转化为：f（log_m$\frac{3}{4}$）＞-f（-1）=f（1），再由函数的单调性得log_m$\frac{3}{4}$＜1，利用对数的单调性对m进行分类讨论，再求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴$\frac{-1+a}{1+1}$=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=2^x是R上的增函数，
∴f（x）在R上为减函数，
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（log_m$\frac{3}{4}$）+f（-1）＞0
等价于f（log_m$\frac{3}{4}$）＞-f（-1）=f（1），
又∵f（x）是R上的减函数，
∴log_m$\frac{3}{4}$=log_mm，
∴当0＜m＜1时，$\frac{3}{4}$＞m，即0＜m＜$\frac{3}{4}$；
当m＞1时，$\frac{3}{4}$＜m，即m＞1；
综上，m的取值范围是m∈（0，$\frac{3}{4}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是中档题．