Question

15．一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．
（1）求f（x）
（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意设f（x）=ax+b，（a＞0），利用f[f（x）]=16x+5求出a、b的值即可；
（2）求出g（x）解析式，知g（x）是二次函数，开口向上，对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$，
讨论-$\frac{4m+1}{8}$≤1和-$\frac{4m+1}{8}$＞1时，求出g（x）_max，得出对应m的值．

解答 解：（1）一次函数f（x）是R上的增函数，可设f（x）=ax+b，（a＞0）；
∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=16}\\{ab+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$（不合题意舍去）；
∴f（x）=4x+1；
（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
是二次函数，开口向上，且对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$，
①当-$\frac{4m+1}{8}$≤1，即m≥-$\frac{9}{4}$时，g（x）在[1，3]上是单调增函数，
令g（x）_max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合题意；
②当-$\frac{4m+1}{8}$＞1，即m＜-$\frac{9}{4}$时，g（x）_max=g（1）=5+5m=13，
解得m=$\frac{8}{5}$，不符合题意；
由①②可得m=-2．

点评 本题考查了函数解析式的应用以及二次函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．