Question

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（2b-$\sqrt{3}$c）cosA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，cosB=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理边化角，结合和与差的公式即可求出角A的大小；
（2）根据角A的大小，a=1，cosB=$\frac{4}{5}$，余弦定理求出c，利用△ABC的面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB可得答案．

解答 解：（1）∵（2b-$\sqrt{3}$c）cosA=$\sqrt{3}$acosC．
正弦定理边化角：可得2sinBcosA-$\sqrt{3}$sinCcosA=$\sqrt{3}$sinAcosC
即2sinBcosA=$\sqrt{3}$（sinCcosA+sinAcosC）
∴2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵cosB=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=$\frac{3}{5}$
∵a=1，A=$\frac{π}{6}$
正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
可得b=$\frac{6}{5}$
余弦定理：b²=c²+a²-2accosB
解得：c=$\frac{4+\sqrt{5}}{5}$
∴△ABC的面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×\frac{4+\sqrt{5}}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12+3\sqrt{5}}{50}$

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，三角形面积的计算．属于中档题．