Question

3．在锐角△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{\sqrt{7}}{4}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{7}}{4}$]
• C． [$\frac{\sqrt{10}}{6}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）

Answer 1

分析 根据余弦定理和角平分线定理，求出△ABC是正三角形时面积取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当AB⊥BC时，△ABC面积取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，由此求出结果．

解答 解：如图所示，
锐角△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，
根据余弦定理，BD²=c²+1-2c•cos$\frac{π}{6}$=c²-$\sqrt{3}$c+1，
CD²=b²+1-2b•cos$\frac{π}{6}$=b²-$\sqrt{3}$b+1；
根据角平分线定理，$\frac{DB}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{{c}^{2}-\sqrt{3}c+1}{{b}^{2}-\sqrt{3}b+1}$=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$；
∴b²c²-$\sqrt{3}$b²c+b²=b²c²-$\sqrt{3}$bc²+c²，
即$\sqrt{3}$bc（c-b）=（c-b）（c+b）；
当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，
得AB=AC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当b≠c时，$\sqrt{3}$bc=b+c≥2$\sqrt{bc}$，当且仅当b=c时“=”成立，
所以bc≥$\frac{4}{3}$，即b=c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$时S_△ABC取得最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
又当AB⊥BC时，
BD=$\frac{1}{2}$，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DC=AD=1，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$为最大值，
△ABC面积的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$]．
故选：D．

点评 本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是较难的题目．