Question

20．已知数列{a_n}满足na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求证：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），两边同时除以n（n+1）即可证明，
（Ⅱ）根据裂项求和即可得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∵a₁=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=2，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}以2为首项，以1为公差的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\frac{{a}_{n}}{n}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题．