Question

16．方程：${log_2}（{{2^{2x+1}}-6}）=x+{log_2}（{{2^x}+1}）$的解为{log₂3}．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．

解答 解：由2^2x+1-6＞0，得2×4^x＞6，即4^x＞3，
则方程等价为${log_2}（{{2^{2x+1}}-6}）=x+{log_2}（{{2^x}+1}）$=log₂2^x+log₂（2^x+1）=log₂2^x（2^x+1），
即2^2x+1-6=2^x（2^x+1），
即2（2^x）²-6=（2^x）²+2^x，
即（2^x）²-2^x-6=0，
则（2^x+2）（2^x-3）=0，
则2^x-3=即2^x=3，满足4^x＞3，
则x=log₂3，
即方程的解为x=log₂3，
故答案为：{log₂3}

点评 本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．