Question

15．如图所示，在等腰梯形CDEF中，DE=CD=$\sqrt{2}$，EF=2+$\sqrt{2}$，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图（2）所示的四棱锥E-ABCD（E，F重合）．
（1）求证：BE⊥DE；
（2）设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥平面ABE，AD⊥BE，AE⊥BE，再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE；
（2）取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG．利用三角形中位线定理结合线面平行的判定，得到MP∥平面DAE，GP∥平面DAE，从而平面MPG∥平面DAE，由此得到直线MG∥平面DAE，可得点N就是点G．

解答 （1）证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB．
又∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE．
由题图（1）和题中所给条件知，四棱锥E-ABCD中，AE=BE=1，AB=CD=$\sqrt{2}$，
∴AE²+BE²=AB²，即AE⊥BE．
又∵AE∩AD=A，
∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE…（6分）
（2）解：取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG，
则MP∥AE，GP∥CB∥DA，
∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE．
∵MP∩GP=P，∴平面MPG∥平面DAE．
∵MG?平面MPG，∴MG∥平面DAE，
故当点N与点G重合时满足条件…（12分）

点评 本题证明了线线垂直和线面平行，着重考查了空间平行与垂直位置关系的证明等知识，属于中档题．