Question

3．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°M是OB中点，P是弧$\widehat{AB}$上的动点，N是线段OA上的动点，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 以O为原点建立坐标系，设P（cosα，sinα），N（a，0），求出$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐标，得出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$关于a，α的函数，利用三角函数的性质求出最小值．

解答 解：以OA，OB为坐标轴建立平面直角坐标系，
设P（cosα，sinα），N（a，0），M（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-cosα，$\frac{1}{2}-$sinα），$\overrightarrow{PN}$=（a-cosα，-sinα），
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=cos²α-acosα+sin²α-$\frac{1}{2}$sinα=1-$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{4}}$sin（α+φ）．
∵0≤a≤1，0≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴当a=1，α+φ=$\frac{π}{2}$时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$取得最小值1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$1-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．