Question

设正整数数列{a_n}满足：a₂=4，且对于任何n∈N*，有，
（1）求a₁，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项a_n。

Answer 1

解：（1）据条件得， ①
当n=1时，由，
即有，解得，
因为a₁为正整数，故；
当n=2时，由，
解得，所以。
（2）由，猜想：，
下面用数学归纳法证明．
①当n=1，2时，由（1）知均成立；
②假设n=k（k≥2）成立，则，
则n=k+1时，由①得

，
因为k≥2时，，
所以；
k-1≥1，所以，
又，所以，
故，
即n=k+1时，成立。
由①，②知，对任意n∈N*，。