Question

6．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=log₂（x+1）+log₂（x-1）是非奇非偶函数；
（2）f（x）=log₂（x²-1）是偶函数；
（3）f（x）=log₂（x+1）+log₂（1-x）是偶函数；
（4）f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$是奇函数．

Answer 1

分析 分别求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\end{array}\right.$，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），则函数为非奇非偶函数，
（2）由x²-1＞0，得x＞1或x＜-1，则f（-x）=log₂[（-x）²-1]=log₂（x²-1）=f（x），则函数f（x）是偶函数，
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，则函数的定义域为（-1，1），则f（-x）=log₂（-x+1）+log₂（1+x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）]=f（x），
则函数f（x）是偶函数，
（4）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，则函数的定义域为（-1，1），则f（-x）+f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（$\frac{1+x}{1-x}$•$\frac{1-x}{1+x}$）=log₂1=0，
则f（-x）=-f（x），即则函数f（x）是奇函数，
故答案为：非奇非偶，偶，偶，奇

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，先求函数的定义域，然后利用奇偶性的定义是解决本题的关键．