Question

17．设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则z=16a²+4a+b²+b的最小值是（　　）

• A． 12
• B． 18
• C． 20
• D． 16

Answer 1

分析 由f（x）=|lgx|，0＜a＜b，f（a）=f（b），可得到；lgb=-lga＞0，于是有ab=1，利用基本不等式即可求2a+b的最小值

解答 解；∵f（x）=|lgx|，0＜a＜b，f（a）=f（b），
∴|lgb|=|lga|，而|lgb|=lgb，|lga|=-lga，
∴lgb=-lga，即lgb+lga=0，
∴ab=1，
∴b=$\frac{1}{a}$，又0＜a＜b，
∴z=16a²+4a+b²+b
=16a²+4a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{a}$
=${（4a+\frac{1}{a}+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{33}{8}$，
而4a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{4a•\frac{1}{a}}$=4，
故z的最小值是${（4+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{33}{4}$=12，
故选：A．

点评 本题考查基本不等式，得到lgb+lga=0是解决问题的关键，属于中档题．