Question

12．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整数n使得不等式a_n²-ta_n-2t²≤0成立，则实数t的取值范围为-2＜t≤-1或$\frac{1}{2}$≤t＜1．

Answer 1

分析 由题意求得数列{a_n}的通项公式，将原不等式转化成n²-tn-2t²≤0，构造辅助函数f（x）=n²-tn-2t²，由题意可知f（1）≤0，f（2）＞0，即可求得t的取值范围．

解答 解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}$-$\frac{n{a}_{n-1}}{2}$，
整理得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，又a₁=1，故a_n=n，
不等式a_n²-ta_n-2t²≤0可化为：n²-tn-2t²≤0，
设f（n）=n²-tn-2t²，由于f（0）=-2t²，
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-t-2{t}^{2}≤0}\\{f（2）=4-2t-2{t}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜t≤-1或$\frac{1}{2}$≤t＜1．
故答案为：-2＜t≤-1或$\frac{1}{2}$≤t＜1．

点评 本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题