Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．．直线y=$\sqrt{3}$与函数y=f（x）（x∈R）图象的所有交点的坐标为（$\frac{π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）或（$\frac{5π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）（k∈Z）．

Answer 1

分析 由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可知A=2，T=4π，从而可求ω，再由ω×$\frac{π}{2}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ可求得φ，从而可得答案．然后解方程2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，结合正弦函数的图象可得x=x=$\frac{π}{6}$+4kπ或$\frac{5π}{6}$+4kπ（k∈Z），由此即可得到直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）图象的所有交点的坐标．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R），
∴A=2，周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{2}$-（-$\frac{π}{2}$）=4π，
∴ω=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
又f（-$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{1}{2}$×（-$\frac{π}{2}$）+φ）=0，
∴φ-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，|φ|＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
当f（x）=$\sqrt{3}$时，即2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，可得sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$+2kπ或$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$+2kπ（k∈Z），可得x=$\frac{π}{6}$+4kπ或$\frac{5π}{6}$+4kπ（k∈Z）
由此可得，直线y=$\sqrt{3}$与函数f（x）图象的所有交点的坐标为：（$\frac{π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）或（$\frac{5π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）（k∈Z）．
故答案为：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），（$\frac{π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）或（$\frac{5π}{6}$+4kπ，$\sqrt{3}$）（k∈Z）．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，确定φ是难点，属于中档题．