Question

14．各项均为正数的等差数列{a_n}前n项和为S_n，首项a₁=3，数列{b_n} 为等比数列，首项b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）设f（n）=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}+100}$（n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出等差数列的公差和等比数列的公比，由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，则a_n和b_n可求；
（Ⅱ）把等差数列{a_n}的通项和前n项和为S_n代入f（n）=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}+100}$，整理后利用基本不等式求得f（n）最大值及相应的n的值．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，则d＞0，
∴${a}_{n}=3+（n-1）d，{b}_{n}={q}^{n-1}$，
依题意：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{3}{S}_{3}=（9+3d）{q}^{2}=960}\\{{b}_{2}{S}_{2}=（6+d）q=64}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{6}{5}}\\{q=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$（舍）．
∴a_n=2n+1，${b}_{n}={8}^{n-1}$；
（Ⅱ）∵S_n=n（n+2），
∴f（n）=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}+100}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+2n+100}=\frac{2}{n+\frac{100}{n}+2}$≤$\frac{2}{2\sqrt{n•\frac{100}{n}}+2}=\frac{1}{11}$．
当且仅当n=$\frac{100}{n}$，即n=10时取等号．
∴当n=10时，所求最小值为$\frac{1}{11}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．