Question

5．对于函数f（x），若存在x₀∈Z，满足|f（x₀）|≤$\frac{1}{4}$，则称x₀为函数的一个“近零点”，已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有四个不同的“近零点”，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$）
• B． [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$]
• C． （0，$\frac{2}{9}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 易知a不变时，函数f（x）的图象的形状不变，且四个不同的“近零点”的最小间距为3，对称轴在区间中间时可取到a的最大值，通过举a=$\frac{1}{5}$时，由|f（-1）|≤$\frac{1}{4}$，且|f（0）|≤$\frac{1}{4}$，可得a无最小值，从而解得a的范围，

解答 解：∵a不变时，函数f（x）的图象的形状不变；
∴记f（x）=a（x-k）²+h，
四个不同的“近零点”的最小间距为3，
故易知对称轴在区间中间时可取到a的最大值，
故不妨记f（x）=a（x-$\frac{1}{2}$）²+h，
故f（-1）-f（0）≤$\frac{1}{4}$×2，
即$\frac{9}{4}$a+h-（$\frac{1}{4}$a+h）≤$\frac{1}{2}$，
故0＜a≤$\frac{1}{4}$，
又若a=$\frac{1}{5}$时，f（x）=$\frac{1}{5}$（x-$\frac{1}{2}$）²+h，
由|f（-1）|=|h+$\frac{9}{20}$|≤$\frac{1}{4}$，且|f（0）|=|h+$\frac{1}{20}$|≤$\frac{1}{4}$，
即为-$\frac{3}{10}$≤h≤$\frac{1}{5}$，且-$\frac{7}{10}$≤h≤-$\frac{1}{5}$，
可得-$\frac{3}{10}$≤h≤-$\frac{1}{5}$成立，故a=$\frac{1}{5}$成立，
且$\frac{1}{5}$＜$\frac{2}{9}$，故$\frac{2}{9}$不为最小值．
则B不正确．
故选：D．

点评 本题考查了学生对新定义的理解和运用及二次函数的图象的形状应用，属于中档题．