题目内容
若不等式
≤a≤
，在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是
| t |
| t2+2 |
| t+2 |
| t2 |
[
，1]
| ||
| 4 |
[
，1]
．
| ||
| 4 |
分析：欲使不等式
≤a≤
在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1=
在t∈（0，2]上的最大值，y2=
在t∈（0，2]上的最小值，而函数y1=
在t∈（0，2]上的最大值，利用基本不等式进行求解，y2=
在t∈（0，2]上的最小值，利用配方法和二次函数的性质进行求解．
| t |
| t2+2 |
| t+2 |
| t2 |
| t |
| t2+2 |
| t+2 |
| t2 |
| t |
| t2+2 |
| t+2 |
| t2 |
解答：解：要使不等式
≤a≤
在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1=
在t∈（0，2]上的最大值，y2=
在t∈（0，2]上的最小值．
而y1=
=
，根据基本不等式最值成立的条件可知函数在t=
时取得最大值为
y2=
=
+
=2(
+
)2 -
，从而函数在t=2时取得最小值为1
所以实数a的取值范围是[
，1]
故答案为：[
，1]
| t |
| t2+2 |
| t+2 |
| t2 |
| t |
| t2+2 |
| t+2 |
| t2 |
而y1=
| t |
| t2+2 |
| 1 | ||
t+
|
| 2 |
| ||
| 4 |
y2=
| t+2 |
| t2 |
| 1 |
| t |
| 2 |
| t2 |
| 1 |
| t |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
所以实数a的取值范围是[
| ||
| 4 |
故答案为：[
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查了不等式，函数的最值问题与恒成立结合的综合类问题，在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想、二次函数求最值的方法和问题转化的能力，属于中档题．
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