Question

（本题满分12分）已知点的坐标为，点在圆上运动，以点为一端点作线段，使得点为线段的中点．

（1）求线段端点轨迹的方程；

（2）已知直线与轨迹相交于两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值

 

Answer 1

（1）（2）或

【解析】

试题分析：（1）代入法适用于条件中有两个动点，且已知一个动点（主动点）的轨迹而求另一个动点（被动点）轨迹的情况．代入法求轨迹方程的步骤（1）设点：设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x0，y0）；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式；（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．（2）利用向量以及直径所对的圆周角为直角得，所以解出m

试题解析：（1）设点， ,

由题得

又点在圆上运动，即

所以，即

故线段端点轨迹的方程是 6分

（2）设，则由方程组

消去得，

 

由韦达定理得

 

9分

因为以为直径的圆经过坐标原点

所以，所以，即

所以

即

所以

解得：或

经检验，这两个值均满足，所以或 ．．12分

考点：圆锥曲线的综合问题