Question

6．设向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{6}$，sin$\frac{nπ}{6}$+cos$\frac{nπ}{6}$），数列{b_n}满足b_n=$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$．求b₁+b₂+b₃+…+b₁₂的值．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式化简b_n的通项，再利用三角函数的周期性求得结果．

解答 解：∵b_n=$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{n-1}{6}$π，sin$\frac{n-1}{6}$π+cos$\frac{n-1}{6}$π）•（cos$\frac{nπ}{6}$，sin$\frac{nπ}{6}$+cos$\frac{nπ}{6}$）
=cos$\frac{n-1}{6}$π•cos$\frac{nπ}{6}$+（sin$\frac{n-1}{6}$π+cos$\frac{n-1}{6}$π）•（sin$\frac{nπ}{6}$+cos$\frac{nπ}{6}$）
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$${cos}^{2}\frac{nπ}{6}$+$\frac{1}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$cos$\frac{nπ}{6}$）+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{nπ}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{nπ}{6}$+$\frac{1}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$）•（sin$\frac{nπ}{6}$+cos$\frac{nπ}{6}$）
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$${cos}^{2}\frac{nπ}{6}$+$\frac{1}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$cos$\frac{nπ}{6}$）+（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$cos$\frac{nπ}{6}$）•（sin$\frac{nπ}{6}$+cos$\frac{nπ}{6}$）
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos\frac{nπ}{3}}{2}$+$\frac{1}{4}$sin$\frac{nπ}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$${sin}^{2}\frac{nπ}{6}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$cos$\frac{nπ}{6}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$sin$\frac{nπ}{6}$cos$\frac{nπ}{6}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$${cos}^{2}\frac{nπ}{6}$
=（$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}cos\frac{nπ}{3}}{4}$+$\frac{1}{4}$sin$\frac{nπ}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$•$\frac{1-cos\frac{nπ}{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$sin$\frac{nπ}{3}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$sin$\frac{nπ}{3}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$•$\frac{1+cos\frac{nπ}{3}}{2}$
=$\frac{2\sqrt{3}+1}{4}$•sin$\frac{nπ}{3}$+$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$cos$\frac{nπ}{3}$+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₁₂
=$\frac{2\sqrt{3}+1}{4}$（sin$\frac{π}{3}$+sin$\frac{2π}{3}$+sin$\frac{3π}{3}$+…+sin$\frac{12π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$（cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{2π}{3}$+cos$\frac{3π}{3}$+…+cos$\frac{12π}{3}$）+12•$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{2\sqrt{3}+1}{4}$•0+$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$•0+9$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式，三角函数的周期性的应用，属于中档题．