Question

7．直线y=kx（k＞0）与E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1交于A，B，C在x轴上，且AC⊥x轴，直线BC与E交于D，若AB⊥AD，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 将直线y=kx代入椭圆方程，求得A，B的坐标，可得C的坐标，求出直线BC的斜率，直线BC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理可得D的坐标，求得直线AD的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理可得a²=2b²，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由y=kx代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²，可得
（b²+a²k²）x²=a²b²，解得x=±$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，$\frac{abk}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$），B（-$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，-$\frac{abk}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$），C（$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，0），
直线BC的斜率为k_BC=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$=$\frac{abk}{2ab}$=$\frac{k}{2}$，
可得直线BC的方程为y=$\frac{k}{2}$（x-$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$），
代入椭圆方程可得（b²+$\frac{{a}^{2}{k}^{2}}{4}$）x²-$\frac{{a}^{3}b{k}^{2}}{2\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$x-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（4{b}^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}）}{4（{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）}$=0，
可得-$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$•x_D=-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（4{b}^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}）}{（{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）（4{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）}$，
解得x_D=$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$•$\frac{4{b}^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}}{4{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y_D=$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$•$\frac{{a}^{2}{k}^{3}}{4{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由AB⊥AD，可得k_AD=-$\frac{1}{k}$，
即为$\frac{{y}_{D}-{y}_{A}}{{x}_{D}-{x}_{A}}$=$\frac{k-\frac{{a}^{2}{k}^{3}}{4{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{1-\frac{4{b}^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}}{4{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{k}$，
即有a²=2b²=2（a²-c²），
即为a²=2c²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．