Question

13．已知椭圆的中心是原点，长轴AB在x轴上，点C在椭圆上，且∠CBA=$\frac{π}{4}$，若AB=4，BC=$\sqrt{2}$，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则a=$\frac{1}{2}AB=2$，根据BC=$\sqrt{2}$，∠CBA=$\frac{π}{4}$，求出C点坐标，代入椭圆方程即可得出b．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则AB=2a=4，∴a=2．∴B（2，0）．
∵∠CBA=$\frac{π}{4}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴C（1，1）．
代入椭圆方程得$\frac{1}{4}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$．∴b²=$\frac{4}{3}$．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$．

点评 本题考查了椭圆的性质，待定系数法求椭圆方程，属于中档题．