Question

20．函数f（x）=x|x-a|-2x+a²，若a∈[-2，4]，求函数在[-3，3]的最小值．

Answer 1

分析 对f（x）去绝对值，得到分段函数，对a进行分类讨论，得到最小值．

解答 解：∵f（x）=x|x-a|-2x+a²=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+2）x+{a}^{2}，}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+（a-2）x+{a}^{2}，}&{x＜a}\end{array}\right.$
①-2≤a≤2时，$\frac{a}{2}-1≤a，\frac{a}{2}+1≥a$
f（x）_min=min{f（-3），f（$\frac{a}{2}+1$）}=min{a²-3a-3，$\frac{1}{4}$（3a²-4a-4）}=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}^{2}-4a-4}{4}}&{-2≤a＜4-2\sqrt{6}}\\{{a}^{2}-3a-3，}&{4-2\sqrt{6}≤a≤2}\end{array}\right.$
②2＜a≤4时，$\frac{a}{2}-1≤a，\frac{a}{2}+1＜a$
f（x）_min=min{f（-3），f（a）}=min{a²-3a-3，a²-2a}=a²-3a-3，
综上：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}^{2}-4a-4}{4}，}&{-2≤a＜4-2\sqrt{6}}\\{{a}^{2}-3a-3，}&{4-2\sqrt{6}≤a≤4}\end{array}\right.$

点评 本题考查二次函数去绝对值，得到分段函数，对a进行分类讨论，得到最小值．