Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若${S_n}+n=\frac{3}{2}{a_n}$．
（Ⅰ）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求a_n的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足${b_n}={a_n}+λ•{（-2）^n}$，且数列{b_n}是递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列前n项和与等比数列的定义，即可证明数列{a_n+1}是等比数列，从而求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）写出数列{b_n}的通项公式，利用{b_n}是递增数列，列出不等式组求出λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}+n=\frac{3}{2}{a_n}$，
∴S_n-1+（n-1）=$\frac{3}{2}$a_n-1，n≥2，
∴S_n-S_n-1+1=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，n≥2，
即a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，n≥2，
∴a_n=3a_n-1+2，n≥2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=3为定值，
即数列{a_n+1}是公比q=3的等比数列；
又a₁+1=$\frac{3}{2}$a₁，
解得a₁=2，
∴a_n+1=（2+1）×3^n-1=3ⁿ，
∴通项公式为a_n=3ⁿ-1；
（Ⅱ）数列{b_n}中，${b_n}={a_n}+λ•{（-2）^n}$=3ⁿ-1+λ•（-2）ⁿ，
且数列{b_n}是递增数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}{＜b}_{n+1}}\\{{b}_{n+1{＜b}_{n+2}}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}-1+λ{•（-2）}^{n}{＜3}^{n+1}-1+λ{•（-2）}^{n+1}}\\{{3}^{n+1}-1+λ{•（-2）}^{n+1}{＜3}^{n+2}-1+λ{•（-2）}^{n+2}}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{λ{•（-2）}^{n}＜\frac{2}{3}{×3}^{n}}\\{λ{•（-2）}^{n+1}＜\frac{2}{3}{×3}^{n+1}}\end{array}\right.$，
当n为奇数时，$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n}$＜λ＜$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n+1}$，
n为偶数时，$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n+1}$＜λ＜$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n}$，
即得λ的取值范围是-1＜λ＜1．

点评 本题考查等比数列的定义与通项公式的应用问题，也考查了前n项和的定义与不等式组的解法问题，是综合性题目．