Question

3．已知x₀是函数f（x）=2sinx-πlnx（x∈（0，π））的零点，0＜x₁＜x₂＜π，则
①x₀∈（1，e）；
②x₀∈（e，π）；
③f（x₁）-f（x₂）＜0；
④f（x₁）-f（x₂）＞0．
其中正确的命题是（　　）

• A． ①④
• B． ②④
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 根据端点函数值的正负，利用函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；
求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．

解答 解：∵f（1）=2sin1-πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine-π＜0，
∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，
又∵f′（x）=2cosx-$\frac{π}{x}$，当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，2cosx＜2，$\frac{π}{x}$＞2，
∴f′（x）＜0；
当x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，cosx＜0，∴f′（x）＜0，
∴函数在（0，π）上是减函数，
故①④正确．
故选：A．

点评 本题借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定及利用导数判定函数的单调性．