Question

4．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点F₂也为抛物线C₂：y²=8x的焦点，过点F₂的直线l交抛物线C₂于A，B两点．
（Ⅰ）若点P（8，0）满足|PA|=|PB|，求直线l的方程；
（Ⅱ）T为直线x=-3上任意一点，过点F₁作TF₁的垂线交椭圆C₁于M，N两点，求$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{MN}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线${C_2}：{y^2}=8x$得F₂（2，0），当直线l斜率不存在，即l：x=2时，满足题意．当直线l斜率存在，设l：y=k（x-2）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线方程联立可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB的中点$G（\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，\frac{4}{k}）$，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，k_PG•k=-1，解得k即可得出．
（Ⅱ）F₂（2，0），可得椭圆C₁的方程，设T点的坐标为（-3，m），则直线TF₁的斜率${k}_{T{F}_{1}}$=-m．当m≠0时，直线MN的斜率${k_{MN}}=\frac{1}{m}$，直线MN的方程是x=my-2，
当m=0时，上述方程．设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线${C_2}：{y^2}=8x$得F₂（2，0），
当直线l斜率不存在，即l：x=2时，满足题意．
当直线l斜率存在，设l：y=k（x-2）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}，{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-4k=\frac{8}{k}$．
设AB的中点为G，则$G（\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，\frac{4}{k}）$，
∵|PA|=|PB|，∴PG⊥l，k_PG•k=-1，
∴$\frac{{\frac{4}{k}-0}}{{\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}-8}}×k=-1$，解得$k=±\sqrt{2}$，则$y=±\sqrt{2}（x-2）$，
∴直线l的方程为$y=±\sqrt{2}（x-2）$或x=2．
（Ⅱ）∵F₂（2，0），∴${F_1}（-2，0），{b^2}=6-4=2，{C_1}：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，
设T点的坐标为（-3，m），
则直线TF₁的斜率${k_{T{F_1}}}=\frac{m-0}{-3+2}=-m$，
当m≠0时，直线MN的斜率${k_{MN}}=\frac{1}{m}$，直线MN的方程是x=my-2，
当m=0时，直线MN的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式．
∴直线MN的方程是x=my-2．
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my-2\end{array}\right.$，得（m²+3）y²-4my-2=0，
∴${y_3}+{y_4}=\frac{4m}{{{m^2}+3}}，{y_3}{y_4}=-\frac{2}{{{m^2}+3}}$，
$|{T{F_1}}|=\sqrt{{m^2}+1}$，$|{MN}|=\sqrt{{{（{x_3}-{x_4}）}^2}+{{（{y_3}-{y_4}）}^2}}$=$\sqrt{（{m^2}+1）[{{（{y_3}+{y_4}）}^2}-4{y_3}{y_4}]}=\frac{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}$，
∴$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{MN}|}}=\sqrt{\frac{1}{24}×\frac{{{{（{m^2}+3）}^2}}}{{{m^2}+1}}}=\sqrt{\frac{1}{24}（{m^2}+1+\frac{4}{{{m^2}+1}}+4）}≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
当且仅当${m^2}+1=\frac{4}{{{m^2}+1}}$，即m=±1时，等号成立，此时$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{MN}|}}$取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质、线段垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．